微分方程解的结构

本文介绍了微分方程解的结构，分别讨论了设定待定常数和函数的解法一和利用特解和特征方程求解的解法二。其中，解法二更加简单明了。通过求解二阶齐次线性微分方程的特征方程，得到特解，并利用这些特解构造出解。文章给出了具体的实例，详细阐述了每个步骤和方法。本文内容对于微分方程求解的初学者有一定的借鉴意义。有需要的朋友们，不要再犹豫了！跟着592下载网编辑一起了解了解吧

微分方程解的结构 微分方程解的求解方法及应用

解法一：设此微分方程是y”+py’+qy=f(x)，其中p,q是待定常数，f(x)是待定函数。把y1,y2,y3代入，解得p,q,f(x)。此法麻烦。解法二：利闷腔梁用二阶非齐次线性微分方程与齐次线性微分方程的解的特点。蚂运 y4=y3-y1=e^(-x)是对应的二阶齐次线性微分方程的特解，所以-1是特征方程的根。 y5=y1-y2-y4＝e^(2x)也是二阶齐次线性微分方程的特解，所以2是特征方程的根。所以二阶齐次线性微分方程的特征方程是(r+1)(r-2)=0，即r2-r-2＝0，圆铅微分方程是y”-y’-2y=0。 y6=y1-y5＝xe^x是二阶非齐次线性微分方程的特解，y6”-y6′-2y6＝(x+2)e^x-(x+1)e^x-2xe^x=(1-2x)e^x。所以所求二阶非齐次线性微分方程是y”-y’-2y=(1-2x)e^x。

一二阶常系数线性微分方程基本概念

（1）如 ”+ ‘+ 的微分方程称为 二阶线性微分方程

又叫 二阶非齐次线性微分方程

（2） ”+ ‘+ = 0 二阶齐次线性微分方程

（3）如果上述P(x)和Q(x)化为  p  和    q，

那么（1）为  二阶常系数 非齐次 线性微分方程

（2）为二阶常系数 齐次线 性微分方程

二，二阶线性微分方程解的结构

（1）二阶齐次线性微分方程解的结构

如果函数 y1 和 y2 是方程兄蔽（2）的解，则函数y=C1 y1 + C2 y2（c1,c2为任意常数）也是方程（2）的解

如果函数 y1 和 y2 是方程（2）的两个线性无关的特解解，则函数y=C1 y1 + C2 y2（c1,c2为任意常羡迹州数）是方程州侍（2）的通解

例题：

证明y=C1 cos x + c2 sinx是方程y” + y = 0的通解

y1=cos y2=sinx 是方程y” + y = 0的两个解   而且    = = tan x不是常数

所以y”+y=0的两个解y1=cos x和 y2=sin x是线性无关的, 

所以：y=c1cos x+c2sinx 是方程y”+y=0的通解

（2）二阶非齐次线性微分方程解的结构

解法一：设此微分方程蚂运是y”+py’+qy=f(x)，其中p,q是待定常数，f(x)是待定函数。把y1,y2,y3代入，解得p,q,f(x)。此法麻烦。

解法二：利用二阶非齐次线性微分方程与齐次线性微分方程的解的特点。

y4=y3-y1=e^(-x)是对应的二阶齐次线性微分方程的特解，所以圆铅-1是特征方程的根。

y5=y1-y2-y4＝e^(2x)也是二阶齐次线性微分方程的特解，所以2是特征方程的根。

所以二阶齐次线性微分方程的特征方程是(r+1)(r-2)=0，即r²-r-2＝0，微分方程是y”-y’-2y=0。

y6=y1-y5＝xe^x是二闷腔梁阶非齐次线性微分方程的特解，y6”-y6′-2y6＝(x+2)e^x-(x+1)e^x-2xe^x=(1-2x)e^x。

所以所求二阶非齐次线性微分方程是y”-y’-2y=(1-2x)e^x。

本文讨论齐次线性微分方程组

的解的结构 假设 是区间 上的 阶连续矩阵函数 一个最基本的结果是：

如果 和 是齐次线性微分方程组（39）的两个解，则

也是（39）的解，其中 是任意常数 并且齐次线性微分方程组（39）解的全体 为了一个 维线性空间

为了证明这个定理，我们需要引入若干个向量函数线性无关的概念 给定定义在区间滑雹大 上的 个向量函数 ，如果存在 个不全为零的常数 ，使得

则称 在区间 上 线性相关 ；否则就称这些向量函数在区间 上

定理的前一半根据求肆吵导公式容易得到 我们只需证明（39）的解的全体 为一个 维线性空间

我们先证明方程组（39）在区间 上一定存在 个线性无关的解 在 维向量空间 或 上任意选择 个线性无关的向量 根据定理 31 ，对任意的 及区间 上的任意实数 ，方程组（39）在 的区间 上存在唯一满足初值条件 的解 若有常数 ，满足

则必有

由于向量 是线性无关的，因此 必全为零，这表明方程组的（39）的解 是线性无关的

其次我们证明，方程组（39）的任一解 都可表示为上述 个线性无关解的线性组合

其中 为常数 一方面，由于向量组 线性无关，他们构成了 维向量空间 或 的一组基，故存在常数 ，使得

另外由本定理的第一部分知，

也是方程组（39）的满足处置条件 的解 因此由解的存在唯一性定理（即定理31）知（311）成立

上面的证明告诉我们，在固定 的情形下， 维向量空间 或 上任意一个常向量 都唯一地对应于齐次方程组（39）的一个解 映射 事实上给出了由函数组成的空间 与线性空间 或 之间的同构关系

齐次方程组（39）的 个线性无关信竖的解合起来称为该方程组的一个 基本解组 显然基本解组不是唯一的，如果齐次方程组（39）有基本解组 ，则 齐次方程组 （39）的通解必可表示维（311）的形式 因此，且方程组（39）的通解的问题可归结为求他的 个线性无关的特解的问题

假设已知

是方程组（39）的 个解，我们怎样判定它们是否线性无关呢？

由方程组（39）的 个解 构成的矩阵

称为方程组（39）的一个 解矩阵 其行列式 称为这个解的 Wronski 行列式

由线性代数的知识易知：若定义在区间 上的 个向量函数 线性相关，则在区间 上其 Wronski 行列式 下免的定理给出了一个判定方程组（39）的某个解组是否线性无关的简洁的方法：

方程组（39）的解组 线性无关的充要条件是它们的 Wronski 行列式 在某点 处取值不为零 并且 满足 Liouville 公式

其中 是矩阵 的迹，即

根据行列式的定义以级函数和、积的求导公式，容易证明

由于 是方程组（39）的解，故

同理可得（314）右端的第 个行列式的值等于 ，其中 从而，

这是关于 的一阶线性方程，其解为

因此 Liouville 公式成立 按照这个公式，我们容易知道 恒为 0（无零点）当且仅当 在某点 等于 0（不等于 0 ） 定理证毕

定理 33 的第一部分还可以利用解的唯一性（定理 31 ）来给出证明

由定理 33，只需在区间 上的任一点 处计算出给定解组的 Wronski 行列式 ，就可根据 是否为零来判断其是否线性无关

值得注意的是，上述函数矩阵的行列式或恒为零或恒不为零的结果只适用于由齐次线性微分方程给出的解矩阵 一般的函数矩阵没有这样的性质，更不能用它来判断向量函数组是否线性无关 例如，下列两个向量函数：

的 Wronski 行列式恒等于零，但它们却是线性无关的

当解组 是一个基本解组时，我们称解矩阵

为方程组（39）的一个 基(本)解矩阵 特别地，如果在某点 处 （即单位矩阵），则称 为 标准解矩阵

根据前面的定理，设 为方程组（39）的一个基解矩阵，则方程组（39）的任一解 都可以表示为

其中 是某常量 反之，对于任意常向量 ，向量函数 都是方程组（39）的解 如果考虑初值函数 的解为

其中 是一个标准解矩阵

结构：

在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称亏袭为线性方程。

性质：

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。

例如：  ，其解为：  ，其中C是待定常数；

如果知道  ，则可推出C=1，而可知 y=-cos x+1，

一阶线性常微分方程

对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：

对于方程：y’+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：  ，然后将这个通解代回到原式中，昌顷即可求出C(x)的值。

二阶常系数齐次常微分方程

对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解

对于方程： 可知其通解： 

其特征方程： 

根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解

一般的通解形式为：若  ，则有

若  ，则有 

在共轭复数根的情况下：  。

扩展资料：

线性微分方程是指关于未知函数及耐空陆其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。

线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

参考资料：

线性微分方程-百度百科

本文从微分方程的结构出发，简明扼要地讲解了微分方程解的求解过程。通过对待定常数和函数的设定，以及对特征方程和特解的利用，得到了微分方程的解。解法二更加简单易懂。同时，文章也通过实例展示了具体的步骤和应用，方便读者更好地理解和掌握微分方程的解法。上面的内容即是对于微分方程解的结构全部内容了，希望能帮助到网友！更多精彩资讯，请继续关注592下载网，您的支持是我们不断更新和进步的源动力！